Вторник, 07.07.2020, 22:55
Вы вошли как Гость | Группа "Не зарегистрированный"Приветствую Вас Гость | RSS
Главная | Каталог статей | Мой профиль | Регистрация | Выход | Вход
QO.DO.AM
 >>>мир предметника 050202

Форма входа

Основное меню

Меню 050202

Учительская OnLine

Категории раздела
8 класс-теория [49]
Теоретический материал по Информатики и ИКТ
9 класс [40]
10 класс [34]
11 класс [37]
Лабораторный практикум [23]
Из математической логики
Алексеев Е.Г., Богатырев С.Д. [97]
Алексеев Е.Г., Богатырев С.Д. Информатика. Мультимедийный электронный учебник, содержит: теорию по Информатике и ИКТ, закрепляющие тесты, иллюстративные материалы для урока Информатики и ИКТ
ИНФОРМАТИКА И ИКТ "Учебное пособие" [17]
Содержательный материал по Информатике и ИКТ. Преподается краткое и отборочное содержание для подготовки и проведения уроков Информатики и ИКТ 8-9 классы, 10-11 классы
Технические средства информатизации [31]
Данное учебное пособие предназначено для изучения дисциплины «Технические средства информатизации» в средних специальных учебных заведениях на специальности 2203- «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем».
Материалы к урокам ИНФОРМАТИКИ И ИКТ для учащихся с 8-11 классы [57]
Переработанный материал по Информатике и ИКТ, блок схемы, выделение основных понятий информатики красочно и кратко, автор разработок Давыдова Елена Владимировна

Статистика

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
// Your SEO optimized title page contents

Счетчики

Главная » Архив Информатики и ИКТ » Теория » Лабораторный практикум [ Добавить статью ]

Логические выражения и логические операции
     Исследования в алгебре логики тесно связаны с изучением высказываний (хотя высказывание — предмет изучения формальной логики). Высказывание — это языковое образование, в отношении которого имеет смысл говорить о его истинности или ложности (Аристотель).

Простым высказыванием называют повествовательное предложение, относительно которого имеет смысл говорить, истинно оно или ложно.

Считается, что каждое высказывание либо истинно, либо ложно и ни одно высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.

Примеры высказываний:

  1. Москва – столица России.
  2. Число 27 является простым.
  3. Волга впадает в Каспийское море.

Высказывания 1 и 3 являются истинными. Высказывание 2 – ложным , потому что число 27 составное 27=3*3*3.

Следующие предложения высказываниями не являются:

  • Давай пойдем гулять.
  • 2*x>8.
  • a*x2+b*x+c=0.
  • Который час?

Итак, отличительным признаком высказывания является свойство быть истинным или ложным, последние четыре предложения этим свойством не обладают.

С помощью высказываний устанавливаются свойства, взаимосвязи между объектами. Высказывание истинно, если оно адекватно отображает эту связь, в противном случае оно ложно.

Примеры высказываний:

  1. Сегодня светит солнце.
  2. Трава растет.

Каждое из этих высказываний характеризует свойства или состояние конкретного объекта (в пермом предложении - погоды, во втором - окружающего мира). Каждое из этих высказываний несет значение «истина» или «ложь».

В математической логике не рассматривается конкретное содержание высказывания, важно только, истинно оно или ложно. Поэтому высказывание можно представить некоторой переменной величиной, значением которой может быть только 0 или 1. Если высказывание истинно, то его значение равно 1, еслиложно - 0.

Простые высказывания назвали логическими переменными, а сложные - логическими функциями. Значения логической функции также только 0 или 1. Для простоты записи высказывания обозначаются латинскими буквами А, В, С.

Однако определение истинности высказывания далеко не простой вопрос. Например, высказывание «Число 1 +22 = 4294 967297 — простое», принадлежащее Ферма (1601-1665), долгое время считалось истинным, пока в 1732 году Эйлер (1707-1783) не доказал, что оно ложно. В целом, обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне алгебры логики. Например, истинность или ложность высказывания «Сумма углов треугольника равна 180°» устанавливается геометрией, причем в геометрии Евклида это высказывание является истинным, а в геометрии Лобачевского — ложным.

В булевой алгебре простым высказываниям ставятся в соответствие логические переменные, значение которых равно 1, если высказывание истинно, и 0, если высказывание ложно. Обозначаются логические переменные, большими буквами латинского алфавита.

Существуют разные варианты обозначения истинности и ложности логических переменных

Истина

И

True

T

1

Ложь

Л

False

F

0

Сложные (составные) высказывания представляют собой набор простых высказываний (по крайней мере двух) связанных логическими операциями.

С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой (логическим выражением).

Логическое выражение - это символическая запись высказывания, состоящая из логических величин (констант или переменных), объединенныхлогическими операциями (связками).

Связки "НЕ", "И", "ИЛИ" заменяются логическими операциями инверсияконъюнкциядизъюнкция. Это основные логические операции, при помощи которых можно записать любое логическое выражение. 

Введем перечисленные логические операции.

Конъюнкция - логическое умножение (от латинского conjunctio - союз, связь):

  • в естественном языке соответствует союзу «И»;
  • в алгебре высказываний обозначение «&»;
  • в языках программирования обозначение «And».

Конъюнкция - это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым (или исходным) высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны. Если хотя бы одно из составляющих высказываний ложно, то и полученное из них с помощью союза «И» сложное высказывание также считается ложным.

В алгебре множеств конъюнкции соответствует операция пересечения множеств, т.е. множеству получившемуся в результате умножения множеств А и Всоответствует множество, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно двум множествам. 

Таблица истинности

Диаграмма Эйлера-Венна

A

А&В

 1

 1

1

 1

 0

 0

 1

 0

 0

Конъюнкция - это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым (или исходным) высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны. Если хотя бы одно из составляющих высказываний ложно, то и полученное из них с помощью союза «И» сложное высказывание также считается ложным. В алгебре множеств конъюнкции соответствует операция пересечения множеств, т.е. множеству получившемуся в результате умножения множеств А и Всоответствует множество, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно двум множествам.

Итак, если два высказывания соединены союзом "И", то полученное сложное высказывание истинно тогда и только тогда, когда истинны оба исходных высказывания.

 

Дизъюнкция - логическое сложение (от латинского disjunctio - разобщение, различие):

  • в естественном языке соответствует союзу «ИЛИ»;
  • в алгебре высказываний обозначение «V» или «+»;
  • в языках программирования обозначение «Or».

Дизъюнкция - это логическая операция, которая каждым двум простым (или исходным) высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.

В алгебре множеств дизъюнкции соответствует операция объединения множеств, т.е. множеству получившемуся в результате сложения множеств А и Всоответствует множество, состоящее из элементов, принадлежащих либо множеству А, либо множеству В

Таблица истинности

Диаграмма Эйлера-Венна

A

A + B 

 1

 1

1

 1

 0

 1

 0

 1

 1

 0

 0

 0

Дизъюнкция - это логическая операция, которая каждым двум простым (или исходным) высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно. В алгебре множеств дизъюнкции соответствует операция объединения множеств, т.е. множеству получившемуся в результате сложения множеств А и Всоответствует множество, состоящее из элементов, принадлежащих либо множеству А, либо множеству В.

Итак, если два высказывания соединены союзом "ИЛИ", то полученное сложное высказывание истинно когда истинно хотя бы одно из составляющих высказываний.

Рассмотренные выше операции были двуместными (бинарными), т.е. выполнялись над двумя операндами (высказываниями). В алгебре логики определена и широко используется и одноместная (унарная) операция отрицание.

Инверсия - отрицание (от латинского disjunctio - разобщение, различие):

  • в естественном языке соответствует словам «неверно, что...» и частице «не»
  • ;
  • в алгебре высказываний обозначение «¬» или «-»
  • ;
  • в языках программирования обозначение «Not».

Отрицание - логическая операция, которая с помощью связки «не» каждому исходному высказыванию ставит в соответствие составное высказывание, заключающееся в том, что исходное высказывание отрицается.

В алгебре множеств логическому отрицанию соответствует операция дополнения до универсального множества, т.е. множеству получившемуся в результате отрицания множества А соответствует множество, дополняющее его до универсального множества. 

Таблица истинности

Диаграмма Эйлера-Венна

A

¬ А

 0

 1

 1

 0

Отрицание - логическая операция, которая с помощью связки «не» каждому исходному высказыванию ставит в соответствие составное высказывание, заключающееся в том, что исходное высказывание отрицается. В алгебре множеств логическому отрицанию соответствует операция дополнения до универсального множества, т.е. множеству получившемуся в результате отрицания множества А соответствует множество, дополняющее его до универсального множества.

Итак, если исходное выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное выражение ложно, то результат отрицаниябудет истинным.

 

Логическое следование (импликация):

Высказывание, составленное из двух высказываний при помощи связки «если ..., то ...», называется логическим следованием, импликацией (импликация от латинского implico - тесно связываю). 

A

A=>B

 1

 1

1

 1

 0

 0

 0

 1

 1

 0

 0

 1

A => B 

"Из А следует В"

Итак, новое высказывание, полученное с помощью импликации, является ложным тогда и только тогда, когда условие (посылка А) - истинно, а следствие (заключение В) - ложно и истинно во всех остальных случаях. 

Пример. Дано сложное высказывание: «Если выглянет солнце, то станет тепло». Требуется записать его в виде логической формулы. Обозначим через Апростое высказывание «выглянет солнце», а через В - «станет тепло». Тогда логической формулой этого сложного высказывания будет импликация: A -> B.

 

Эквивалентность (логическое тождество):

Высказывание, составленное из двух высказываний при помощи связки «тогда и только тогда, когда», называется эквивалентностью (эквивалентность -логическое тождество, равнозначность, взаимная обусловленность. 

A

А<=>В

 1

 1

1

 1

 0

 0

 0

 1

 0

 0

 0

 1

A <=> B 

"А равносильно В"

Итак, новое высказывание, полученное с использованием эквивалентности, является истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.

 

В алгебре логики логические связки и соответствующие им логические операции имеют специальные названия и обозначаются следующим образом:

Логическая связка

Название логической операции

Обозначения

не

Отрицание, инверсия

Ø, ù

и, а, но

Конъюнкция, логическое умножение

&, • , Ù

или

Дизъюнкция, логическое сложение

V, +

если ..., то

Импликация, следование

Þ,®

тогда и только тогда, когда

эквивалентность, эквиваленция, равнозначность

Û, ~, º, «

Примеры записи сложных высказываний с помощью обозначения логических связок:

  1. "Быть иль не быть - вот в чем вопрос." (В. Шекспир) А V ¬ A <=> В
  2. "Если хочешь быть красивым, поступи в гусары." (К. Прутков) А => В


Источник: http://qo.do.am
Категория: Лабораторный практикум | Добавил: metalworker (14.03.2013)
Просмотров: 17009 | Теги: qo.do.am
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]


qo.do.am © 2020