Операции над множествами - Лабораторный практикум - Теория - Каталог статей

Два множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т. е. если каждый элемент множества A принадлежит множеству Bи, обратно, каждый элемент B принадлежит A. Следовательно, два множества равны, если каждое из них является подмножеством другого

(A = B Û (A Ì B и В ÌА)).

Множества не равны, если хотя бы в одном множестве существует хотя бы один элемент, не принадлежащий другому множеству.

Любая математическая дисциплина, наряду с исходными, неопределяемыми, понятиями, должна включать и "правила игры", способы работы с этими объектами. Например, числа в арифметике можно складывать и умножать: говорят, что заданы операции сложения и умножения. Далее вводятся аналогичные операции для множеств.

Объединением множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств (т. е. либо A, либо B, либо одновременно и A и B). Объединение множеств обозначается символами "+" и "U": C = A U B.

Пример. Даны множества А = {-6, -3, 0, 3, 6} и B = {0, 2, 4, 6, 8}. Тогда A U B = {-6, -3, 0, 2, 3, 4, 6, 8}. Геометрически объединение множеств изображено на рисунке 4.

Пример. Объединением множества рациональных чисел с множеством иррациональных чисел является множество действительных чисел.

Пересечением множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В. Если множества А и В не имеют общих элементов, их пересечение равно пустому множеству Æ; в этом случае множества А и В называются непересекающимися.Пересечение множеств обозначается символами "∩" и "•" (знак умножения): С = А ∩ В или С = АВ.

Пример. Даны множества А = {-6, -3, 0, 3, 6} и B = {0, 2, 4, 6, 8}. Тогда A ∩ B = {0, 6}. Геометрически пересечение множеств представлено на рисунке 5.

Пример. Пересечением множества целых чисел с множеством положительных чисел является множество натуральных чисел.

Разностью множеств А и В называется множество А\В, содержащее те элементы множества А, которые не принадлежат множеству В.

В определении разности множеств А и В не предполагается, что В является подмножеством множества A (Рис. 6). Если же В подмножество A, то разность А\Вназывается дополнением множества В до множества А (Рис. 7). Для дополнения множества А до универсального множества U применяется обозначение (Рис. 8).

Пример. Нуль является дополнением множества натуральных чисел относительно множества неотрицательных целых чисел.

Пример. Предположим, что множество U состоит из всех букв русского алфавита, A – из всех согласных, а множество B – из букв, встречающихся в слове«энциклопедия». Тогда

объединение множеств A и B состоит из всех букв алфавита, кроме а, ё, у, ъ, ь, ы, ю;

пересечение множеств A и B – из букв д, к, л, н, п, ц;

дополнение множества А до универсального множества U – из всех гласных.

Свойства операций